【lv3】"ザ・モデル"で経済を語るスレ【ログ移行】 [ 全レス最新50最新100トップページ ]

149 名前: 名無しさん [2006/06/17(土) 04:38:13] ID:??? [TB]

Stochastic DPについての質問があります。答えていただけるとありがたいです。

まず最適化問題が次のように記述されているとします(notationと式番号はLjungqvist=Sargent(LS),第2版に従っています)。

max_{u_0,u_1,...} _{t=0}^∞ β^t r(x_t,u_t), 0<β<1 (3.2.1)
s.t. x_(t+1)=g[x_t,u_t,ε_(t+1)]      (3.2.2)
with x_0 known and given at t=0.

x:状態変数、u:制御変数、ε_t:第t期においてu_tを選択する前に観察されるi.i.d.確率変数で、その分布関数をF(e)=prob{ε_t≦e}とする。これに対応するベルマン方程式は次のようになると思います。

V(x_t)=max_{u_t} {r(x_t,u_t)+βE_t[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]]}  (※)

ここでE_tとは、E_t[・]≡E[・|x_0,ε_1,…,ε_t]のことです。(これはLSには書いてありません)。LSによれば、問題(3.2)は次のベルマン方程式により表現できるとしています。

V(x)=max_{u} {r(x,u)+βE[V[g(x,u,ε)]|x]}        (3.2.3)

ここでE[・|x]は「 E[・|x]≡∫V[g(x,u,ε)]dF(ε) 」と定義されています。

ようやく質問です。質問は式(※)と式(3.2.3)が同じであることをどう解釈すればよいか?です。以下は私の解釈ですが、それが間違っていないかどうか見ていただけないでしょうか。

(証明)
E_t[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]]
=E[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]|x_0,ε_1,…,ε_t] (∵定義より)
=E[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]|ε_1,…,ε_t]    (∵x_0は定数)        
=E[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]]  (∵{ε_t}はi.i.d.)
=∫V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]dF(ε_(t+1))   (∵定義より)         
=E[V[g(x_t,u_t,ε_(t+1))]|x_t] (∵定義より)■

ただ,ら△悗諒儔修x_0が定数であるか否かに依存しています。定数ならば{ε_t}から独立ということになりますよね。私は「x_0 known and given at t=0」を定数であると解釈したのですが、それでよろしいんでしょうか?
あと、問題(※)がstationaryであるとみなせるのは、の式を得てからという解釈でよろしいんでしょうか?

これは私の感想ですが、なぜLSは(3.2.3)のようなnotation(E[・|x]≡∫V[g(x,u,ε)]dF(ε))にしたのかよくわかりません。普通にE[V[g(x,u,ε)]]でいいじゃんと思っちゃいます。みなさんはどうですか?


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